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수학에게 묻다.
“왜 그렇게 할까? 왜 그렇게 하면 문제가 풀릴까?”

수학의 많은 부분은 “문제를 푸는 방법”을 배우는 것이다.
하지만 그 누구도 왜 그렇게 푸는지, 왜 그렇게 하면 풀리는지 알려주지 않았다.
그 누구도 답해주지 않았던 , 수학에 대한 근본적인 물음에 대답한다!

첫 번째 질문: 수학을 쉽게 배울 순 없을까?
“학문에는 왕도가 없다.”
과연 그럴까? 모든 변화의 시작은 작은 의문, 작은 질문에서 시작한다.

“과연 현재 수학을 배우는 방법이 최선인가?”
사람들이 수학을 어려워하는 이유의 하나는 수학을 자신과는 동떨어진 전문적인 분야라고 생각하는 데 있다. 하지만 그렇지 않다.

“나는 철수를 좋아해. 나는 영희를 좋아해. 나는 민정이를 좋아해”
앞의 문장을 간단하게 정리해보자. 누구나 쉽게 할 수 있다. “나는 철수, 영희, 민정이를 좋아해.”

다음의 수식을 정리해보자.

ax+bx+cx
잘 모르겠다면 이렇게 물어보자. 무엇이 반복되고 있는가?

ax+bx+cx=(a+b+c)x

두 번째 질문: 도대체 왜 그렇게 하는 건데?

왜 <제곱해서 2가 되는 양수>를 sqrt(2) 라고 쓰는데?
왜 1/(sqrt(2)-1)은 왜 굳이 분모를 유리화해서 sqrt(2)+1로 바꾸는 건데?
왜 곱셈은 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙이 성립하는데?
왜 방정식은 양변에 같은 수를 더하거나 빼고, 곱하거나 나눠서 푸는데?
왜 인수분해를 할 때에는 최고차항이 가장 낮은 변수의 내림차순으로 정리를 하는데?
두 양수의 기하평균이 산술평균보다 항상 작다는 것을 수식없이 보여줄 수 없을까?

학교 교육은 이런 질문에 답해 주지 않았고, 학생들의 다양한 질문에 대답해 줄 수 없었다.

세 번째 질문 : 그래서 수학의 핵심적인 사고 방법이 무엇인가?

반복되는 것은 합쳐라! 그럼 문제가 간단해 질 것이다.
2x+3x+5x=3에서 반복되는 부분을 합쳐보자. 2x+3x+5x=(2+3+5)x=10x. 따라서 2x+3x+5x=3은 10x=3으로 나타낼 수 있다. 간단한 문제는 복잡한 문제보다 쉽기 마련이다!

공통점을 확인하라. 없다면 만들어라.
방정식 은 어떻게 푸는가? 잘 모르겠다면 이렇게 바꿔 써보자. x+2=5+2에서 x에 어떤 수를 대입해야 등식이 성립하겠는가? 좌변과 우변의 공통점을 확인하자. 양변에 모두 +2가 있다!
sqrt(172)와 13의 대소를 비교해 보자. 잘 모르겠다면 이렇게 바꿔보자. 13=sqrt(13^2)=sqrt(169). sqrt(172)와 sqrt(169)의 대소를 비교해 보자.

무엇을 알고 있는가? 그것을 어떻게 활용할 것인가?
2x+3=2x+1을 풀어 보자. 정리해보면 0x=-2가 된다. x가 사라진다. 만약 등식의 양변에서 어떤 변수의 계수가 같다면, 그 변수는 사라진다!
연립 방정식 x+y-2=0, 2x-y+1=0에서 x를 사라지게 하려면 어떻게 해야 할까?

저자소개

서울대학교 인지과학 박사, 서울대학교 물리학 학사 출신으로 서울대학교 사회과학원 방법론 컨설턴트, 서울대학교 사회과학원 R 강의, 서강대학교, 국민대학교 등에서의 강의경험과 여러 참조 자료를 토대로 책을 썼다. R 패키지 mirt의 공헌자이고 datacamp.com에 기고 경험도 있다. ‘기초 통계학의 숨은 원리’, ‘수학의 숨은 원리’ 등의 저자이기도 하다.

● 서울대학교 인지과학 박사
● 서울대학교 물리학 학사
● 서울대학교 사회과학원 방법론 컨설턴트
● 서울대학교 사회과학원 R 강의
● 서강대학교, 국민대학교 등 강의(심리통계, 분석프로그래밍)
● R 패키지 mirt의 공헌자
● ‘기초 통계학의 숨은 원리’, ‘수학의 숨은 원리’ 등의 저자
● 2019년 법학적성시험 분석(법학전문대학원협의회 의뢰)

목차

들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

기하
직사각형의 넓이. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
직사각형의 넓이와“ 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙” . . . . . . . . . . . . . 9
직각삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
다양한 모양의 삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
피타고라스의 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
좌표평면 위 삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

수와 연산
수 표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
더 큰 수 표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
제곱해서 2가 되는 양수는 어떻게 표기할 것 인가? . . . . . . . . . . . . . . 27
분수와 소수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
많은 수을 지칭하기: 조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
도대체√ 2는 무엇인가?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
대범한 시도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
귀류법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
허수 I의 출현 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
(−1) × (−1)은 왜 1인가? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1을 0으로 나누면? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
제곱근을 포함한 두 수의 대소 비교1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
제곱근을 포함한 두 수의 대소비교2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
제곱근을 포함한 두 수의 대소 비교3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
분모의 유리화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

대수
변수를 활용하기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
변수를 포함한 식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
자연수의 덧셈(결합법칙과 교환법칙). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
항등식을 증명하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

대수: 방정식
방정식: 들어가기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
양변에 공통적인 요소를 확인한다 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
조금 복잡한 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
더욱 복잡한 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
반복되는 요소를 찾아서 없애라. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
미지수가 하나인 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기. . . . . . . . . . . . . 104
미지수가 하나인 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기 2 . . . . . . . . . . . . 106
역원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
미지수가 하나인 1차 방정식: 부정 또는 불능 . . . . . . . . . . . . . . . . 109
미지수가 하나인 1차 방정식: 정리. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
연립 1차 방정식: 연결점을 설정하자. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
연립 1차 방정식: 연결점 x + y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
연립 1차 방정식: 연결점 설정의 고려사항 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
연립 1차 방정식: 연결점 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
미지수가 두 개인 연립 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기 . . . . . . . . . 120
미지수가 두 개인 연립 1차 방정식: 마무리 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
미지수가 3개인 연립 1차 방정식: 연결점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
동치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
동치와 사칙연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
동치와 연립 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2차 이상의 방정식. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2차 이상의 방정식 풀기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

대수: 인수분해
인수분해: 들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
갤러리: 다항식의 그래프. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
인수분해의 기초: 반복되는 요소를 찾아라. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1차 다항식의 인수분해: (부분적으로) 반복되는 요소를 찾아라 . . . . . . . 150
인수분해와 변수의 개수. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
변수가 하나인 3차 다항식의 인수분해: 계수의반복 . . . . . . . . . . . . 158
계수에서 공통요소를 찾아라(변수가 하나인 3차 다항식) . . . . . . . . . . 162
문제를 푸는 2가지 방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해: 실수 계수 . . . . . . . . . . . . . . 172
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해: 방정식의 해. . . . . . . . . . . . . 175
인수분해와 방정식의 해. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
공식의 재활용: “변수+상수” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
변수가 하나인 3차 다항식의 인수분해: 복습. . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3차 다항식의 인수분해: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
변수가 둘인 3차식의 인수분해 공식 유도 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
변수가 둘인 3차식의 인수분해 공식 유도 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
의 인수분해 공식 유도 . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 복이차식 1 . . . . . . . . . . . . . 190
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 복이차식 2 . . . . . . . . . . . . . 193
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 반복적인 계수 . . . . . . . . . . . 198
변수의 개수를 줄이자 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
변수의 개수를 줄이자 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
최고차수를 줄이자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

대수: 부등식
미지수가 하나인 1차 부등식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
부등식과 음수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
미지수가 하나인 1차 부등식의 해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2차 이상의 부등식. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
미지수가 하나인 2차 부등식의 해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
산술평균, 기하평균 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
산술평균, 기하평균 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

에필로그

한줄 서평